Facebook
From Small Duck, 2 Years ago, written in Plain Text.
Embed
Download Paste or View Raw
Hits: 197
  1. 1. Podaj definicję grupy i przykład struktury która jest (nie jest) grupą.
  2. 2. Podaj definicję i przykłady ciała.
  3. 3. Sformułuj cztery wybrane własności mnożenia/dodawania macierzy.
  4. 4. Sformułuj definicję i dwie własności macierzy transponowanej / odwrotnej /jednostkowej.
  5. Mówimy, że macierz kwadratowa A stopnia n jest odwracalna, jeżeli istnieje taka macierz
  6. B, że:
  7. AB = BA = In.
  8. Taka macierz B jest jednoznacznie wyznaczona. Nazywamy ją macierzą odwrotną do A i oznaczamy symbolem
  9. A^(−1)
  10. 5. Podaj cztery własności wyznaczników.
  11. ⦁      det A = det A^T
  12. ⦁     Jeżeli pewien wiersz (kolumna) macierzy A składa się z samych zer, to det A = 0.
  13. ⦁     Jeżeli macierz A ma dwa takie same wiersze (kolumny), to det A = 0.
  14. ⦁     Jeżeli macierz A ma dwa proporcjonalne wiersze (kolumny), to det A = 0.
  15. 6. Sformułuj twierdzenie Cramera.
  16. Układem równań Cramera nazywamy układ AX = B, w którym A jest macierzą nieosobliwą.
  17. 7. Podaj cztery własności rzędu macierzy
  18. 8. Sformułuj twierdzenie Kroneckera-Capellego.
  19. Układ m równań z n niewiadomymi postaci AX = B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R (A) = R (U).
  20. Wówczas rozwiązania układu zależą od n − r parametrów, gdzie r = R (A) = R (U). W szczególności, jeśli r = n, to układ posiada jedno rozwiązanie.
  21. 9. Podaj definicję układu jednorodnego. Kiedy taki układ posiada rozwiązanie niezerowe?
  22. Układ równań liniowych postaci AX = 0 nazywamy układem jednorodnym.
  23. 10. Podaj definicję i dwie własności iloczynu skalarnego/wektorowego/mieszanego.
  24. 11. Podaj wzór na objętość równoległościanu rozpiętego na trzech róznych wektorach.
  25. 12. Podaj wzór na równoległoboku/trójkąta rozpiętego na dwóch wektorach.
  26. 13. Kiedy dwa wektory/proste/płaszczyzny są równoległe/prostopadłe ?
  27. Wektory:
  28. Mówimy, że wektory a i b są równoległe (współliniowe), gdy istnieje liczba λ ∈ R taka,
  29. że a = λb.
  30. Płaszczyzny:
  31. • π1 || π2 ⇔ [A1, B1, C1] || [A2, B2, C2];
  32. • π1 ⊥ π2 ⇔ [A1, B1, C1] ⊥ [A2, B2, C2].
  33. Proste:
  34. • l1 || l2 ⇔ [a1, b1, c1] || [a2, b2, c2];
  35. • l1 ⊥ l2 ⇔ [a1, b1, c1] ⊥ [a2, b2, c2].
  36. 14. Jak sprawdzić, czy trzy punkty są współliniowe?
  37. 15. Jak sprawdzić, czy trzy wektory są współpłaszczyznowe?
  38. 16. Podaj interpretację geometryczną układu równań: