Facebook
From Subtle Gorilla, 6 Months ago, written in LaTeX.
Embed
Download Paste or View Raw
Hits: 97
  1. \documentclass{article}
  2. \usepackage{polski}
  3. \usepackage[utf8]{inputenc}
  4. \usepackage[margin=2cm]{geometry}
  5. \usepackage{MnSymbol}
  6. \usepackage{enumerate}
  7. \usepackage{graphicx}
  8. \author{Paulina Trybulec}
  9. \begin{document}
  10.  
  11. \begin{center}
  12. \underline{\huge Badanie przebiegu zmienno┼Ťci funkcji f(x) =$\frac{x}{\ln x}$}
  13. \end{center}
  14.  
  15. \begin{enumerate}[I.]
  16.  
  17. \begin{bfseries} \item \large Dziedzina: \end{bfseries} \\
  18. Dziedzin─ů podanej funkcji jest przedzia┼é:  $x\in(0;1)\cup(1;+\infty)$, poniewa┼╝:
  19. \begin{center}
  20. $ x > 0$, \ \ \   oraz\\
  21. $\ln x\neq 0 \iff x\neq1$ \\
  22. \end{center}
  23.  
  24. \begin{bfseries} \item \large Parzysto┼Ť─ç, nieparzysto┼Ť─ç, okresowo┼Ť─ç, punkty przeci─Öcia: \end{bfseries}
  25. \begin{itemize}
  26.  
  27. \item Funkcja nie jest \textbf{parzysta}, ponieważ nie istnieje dla $x \leq 0$, więc nie spełnia warunku $f(-x)=f(x)$. \\
  28. np. f(x) =$\frac{x}{\ln x}$ nie istnieje dla $x=-2$, \ \ \ \ \ \ f(x) =$\frac{x}{\ln x}$=$\frac{2}{\ln 2}\approx2.88$ dla $x=2$ \\
  29.  
  30. \item Funkcja nie jest \textbf{nieparzysta}, poniewa┼╝ nie jest symetryczna wzgl─Ödem punktu  $(0,0)$ \\
  31. Funkcja istnieje tylko dla argumentów $x > 0$, więc nie spełnia warunku $f(-x)=-f(x)$ \\
  32.  
  33. \item Funkcja nie jest \textbf{okresowa} - nie posiada okresu w zwi─ůzku z czym nieprawdziwe jest sformu┼éowanie: \\
  34. istnieje taka liczba $t \neq 0$, kt├│ra dodana do dowolnej dopuszczalnej warto┼Ťci argumentu nie zmienia warto┼Ťci funkcji, tzn. $f(x + t) = f(x)$. \\
  35. \item Punkty przeci─Öcia:
  36. \begin{itemize}
  37. \item O┼Ť $OX$: brak miejsc zerowych
  38. \item O┼Ť $OY$: brak miejsc zerowych
  39. \end{itemize}
  40. \end{itemize}
  41.  
  42. \begin{bfseries} \item \large Granice na krańcach dziedziny: \end{bfseries}
  43. \begin{enumerate}[1.]
  44. \item $\lim\limits_{x \to 0^{+}}  (\frac{x}{\ln x}) = [ \frac{0}{-\infty} ] = 0$ \\
  45. \item $\lim\limits_{x \to 1^{-}}  (\frac{x}{\ln x}) = [ \frac{1^{-}}{0} ] = -\infty$ \\
  46. \item $\lim\limits_{x \to 1^{+}}  (\frac{x}{\ln x}) = [ \frac{1^{+}}{0} ] = +\infty$ \\
  47. \item $\lim\limits_{x \to +\infty}  (\frac{x}{\ln x}) = (H) \lim\limits_{x \to +\infty} (\frac{1}{\frac{1}{x}}) = [ \frac{\infty}{1} ] = +\infty$ \\
  48. \end{enumerate}
  49.  
  50. \begin{bfseries} \item \large Asymptoty: \end{bfseries}
  51.  
  52. \begin{itemize}
  53. \item \textbf{Asymptoty pionowe:} \\
  54. Bierzemy pod uwag─Ö punkt $x=1$, poniewa┼╝ nie nale┼╝y on do dziedziny funkcji:
  55. \begin{enumerate}[1.]
  56. \item $\lim\limits_{x \to 1^{-}}  (\frac{x}{\ln x}) = \frac{1^{-}}{0} = -\infty$ \\
  57. \item $\lim\limits_{x \to 1^{+}}  (\frac{x}{\ln x}) = \frac{1^{+}}{0} = +\infty$ \\
  58. \end{enumerate}
  59. Funkcja posiada asymptot─Ö pionow─ů o r├│wnaniu $x = 1$
  60.  
  61. \item \textbf{Asymptoty poziome:} \\
  62. Liczymy granice $\lim\limits_{x \to -/+\infty}  (\frac{f(x)}{x})$ \\
  63. \begin{enumerate}[1.]
  64. \item $\lim\limits_{x \to -\infty}  (\frac{x}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}) = \lim\limits_{x \to -\infty} (\frac{1}{\ln x})$ \ \ \ Granica nie istnieje, poniewa┼╝ $\lim\limits_{x \to -\infty} (\ln x)$ nie istnieje \\
  65. \item $\lim\limits_{x \to +\infty} (\frac{x}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}) = \lim\limits_{x \to +\infty} (\frac{1}{\ln x}) =\lim\limits_{x \to +\infty}(\frac{1}{\ln x})=0 $, poniewa┼╝ \ $\left[ \frac{1}{+\infty}\right]$ \\
  66. \end{enumerate}
  67. Granica w $-\infty$ $\neq 0$ wi─Öc funkcja nie posiada asymptot poziomych. \\
  68.  
  69. \item \textbf{Asymptoty uko┼Ťne:} \\
  70. Granice $\lim\limits_{x \to -/+\infty}  (\frac{f(x)}{x})$ nie s─ů takie same, wi─Öc funkcja $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ nie posiada asymptot uko┼Ťnych. \\
  71. \end{itemize}
  72. \textbf{WNIOSEK:} Jedyn─ů asymptot─ů funkcji $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ jest asymptota pionowa o r├│wnaniu $x = 1$. \\
  73.  
  74. \begin{bfseries} \item \large Znak funkcji: \end{bfseries}
  75. \begin{itemize}
  76. \item Funkcja przyjmuje warto┼Ťci dodatnie dla $x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$ \\
  77. $f(x) > 0 \iff \frac{x}{\ln x} > 0 \iff x(\ln x) > 0 \iff x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$ \\
  78. \item Funkcja przyjmuje warto┼Ťci ujemne dla  $x\in(0;1)$ \\
  79. $x(\ln x) < 0 \iff x\in(0;1)$
  80. \begin{center}
  81. \includegraphics[scale=0.4]{znakfunkcji.png}
  82. \end{center}
  83. \end{itemize}
  84. \begin{bfseries} \item \large Pochodna pierwszego rz─Ödu: \end{bfseries}
  85. \begin{itemize}
  86. \item $ f^{\prime}(x) = f^{\prime}(\frac{x}{\ln x}) = \frac{1 \cdot \ln x- x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^{2}x} = \frac{\ln x - 1}{\ln^{2}x}$ \\
  87. \item Dziedzina pierwszej pochodnej to przedział $(0;1) \cup (1;+\infty)$ \\
  88. \item Przyr├│wnujemy j─ů do zera: \\
  89. $f^{\prime}(x) = 0 \iff \frac{\ln x - 1}{\ln^{2}x} = 0$ \\
  90. $\ln x - 1 = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e$ \\
  91. \begin{center}
  92. \includegraphics[scale=0.7]{1poch.png}
  93. \end{center}
  94. \item W otoczeniu punktu $x=e$ funkcja $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ zmienia znak z ujemnego na dodatni, a wi─Öc funkcja osi─ůga minimum lokalne w tym punkcie.
  95.  
  96. \pagebreak
  97.  
  98. \item $f^{\prime}(x) > 0$ dla $x\in (0;1) \cup (1;e)$ \\
  99. \item $f^{\prime}(x) < 0$ dla $x\in (e;+\infty)$ \\
  100.  
  101.  
  102. \item Wykres pierwszej pochodnej funkcji: $ f^{\prime}(x) = \frac{\ln x - 1}{\ln^{2}x}$ \\
  103. \begin{center}
  104. \includegraphics[scale=0.75]{pierwszapochodna.png}
  105. \end{center}
  106. \item $f = \frac{\ln x - 1}{\ln^{2}x}$
  107. \item $g = x = 1 \rightarrow$ asymptota
  108. \end{itemize}
  109.  
  110. \pagebreak
  111. \begin{bfseries} \item \large Pochodna drugiego rz─Ödu: \end{bfseries}
  112. \begin{itemize}
  113. \item $f^{\prime\prime}(x) = f^{\prime}(\frac{\ln x - 1}{\ln^{2}x}) = \frac{(\ln x -1)^{\prime} \cdot (\ln^{2}x) - (\ln x -1) \cdot (\ln^{2}x)^{\prime}}{\ln^{2}x}=$
  114. $\frac{\frac{1}{x} \cdot \ln^{2}x - (\ln x -1) \cdot \frac{2 \cdot \ln x}{x}}{\ln^{4}x} = \frac{\frac{\ln^{2}x}{x} - \frac{2 \cdot \ln^{2}x + 2 \cdot \ln x}{x}}{\frac{\ln^{4}x}{1}} =$ \\
  115. $\frac{\ln^{2}x - 2 \cdot \ln^{2}x + 2 \cdot \ln x}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{4}x} = \frac{-\ln^{2}x + 2 \cdot \ln x}{x \cdot \ln^{4}x} = \frac{\ln x \cdot (-\ln x + 2)}{\ln x \cdot (x \cdot \ln^{3}x)} = \frac{-\ln x + 2}{x \cdot \ln^{3}x}$ \\
  116. \item Dziedzina drugiej pochodnej to przedział $(0;1) \cup (1;+\infty)$ \\
  117. \item Przyr├│wnujemy j─ů do zera: \\
  118. $\frac{-\ln x + 2}{x \cdot \ln^{3}x} = 0 \iff -\ln x + 2 = 0 \iff \ln x = 2 \iff x = e^{2}$
  119. \item Z powyższych obliczeń wynika, że punktem przegięcia jest punkt $x = e^{2}$.
  120. \begin{center}
  121. \includegraphics[scale=0.72]{2poch.png}
  122. \end{center}
  123. \item $f^{\prime\prime}(x) > 0$ dla $x \in (1;e^{2})$. Oznacza to, że wykres drugiej pochodnej jest wypukły ku dołowi w tym przedziale.
  124. \item $f^{\prime\prime}(x) < 0$ dla $x \in (0;1) \cup (e^{2}; +\infty)$. Oznacza to, że wykres drugiej pochodnej jest wypukły ku górze w tych przedziałach.
  125. \item Wykres drugiej pochodnej funkcji: $f^{\prime\prime}(x) = \frac{-\ln x + 2}{x \cdot \ln^{3}x}$
  126. \begin{center}
  127. \includegraphics[scale=0.72]{drugapochodna.png}
  128. \end{center}
  129. \item $f = \frac{-\ln x + 2}{x \cdot \ln^{3}x}$
  130. \item $g = x = 1 \rightarrow$ asymptota
  131. \end{itemize}
  132.  
  133. \pagebreak
  134.  
  135. \begin{bfseries} \item \large Tabelka i wykres funkcji: \end{bfseries}\\
  136. \begin{itemize}
  137. \item Funkcja $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ \\
  138. \end{itemize}
  139. \def\arraystretch{1.5}
  140. \begin{center}
  141. \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  142. $x$ & $0$ & $(0;1)$ & $1$ & $(1;e)$ & $e$ & $(e;e^{2})$ & $e^{2}$ & \multicolumn{1}{l|}{$(e^{2};+\infty)$} \\ \hline
  143. $f^{\prime\prime}(x)$ & X & X & X & + & + & + & 0 & - \\ \hline
  144. $f^{\prime}(x)$ & X & X & X & - & $0_{min}$ & + & + & + \\ \hline
  145. $f(x)$ & X & $\lcurvearrowse$ & X & $\rcurvearrowse$ & $e_{min}$ & $\rcurvearrowne$ & $\frac{e^{2}}{2}$ & $\lcurvearrowne$ \\ \hline
  146. $granica$ & 0 & \multicolumn{1}{l|}{} & nie istnieje & \multicolumn{1}{l|}{} & \multicolumn{1}{l|}{} & \multicolumn{1}{l|}{} & \multicolumn{1}{l|}{} & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
  147. \end{tabular}
  148.  
  149.  
  150. \begin{tabular}{lc}
  151. \end{tabular}
  152. \end{center}
  153. \begin{itemize}
  154. \item Wykres funkcji $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ \\
  155. \end{itemize}
  156. \begin{center}
  157. \includegraphics[scale=0.75]{funkcja.png}
  158. \end{center}
  159. \begin{itemize}
  160. \item $f = \frac{x}{\ln x}$
  161. \item $g = x = 1 \rightarrow$ asymptota
  162. \end{itemize}
  163.  
  164.  
  165. \end{enumerate}
  166. \end{document}