1. \documentclass{article}
2. \usepackage{polski}
3. \usepackage[utf8]{inputenc}
4. \usepackage[margin=2cm]{geometry}
5. \usepackage{MnSymbol}
6. \usepackage{enumerate}
7. \usepackage{graphicx}
8. \author{Paulina Trybulec}
9. \begin{document}
10.  
11. \begin{center}
12. \underline{\huge Badanie przebiegu zmienności funkcji f(x) =$\frac{x}{\ln x}$}
13. \end{center}
14.  
15. \begin{enumerate}[I.]
16.  
17. \begin{bfseries} \item \large Dziedzina: \end{bfseries} \\
18. Dziedziną podanej funkcji jest przedział:  $x\in(0;1)\cup(1;+\infty)$, ponieważ:
19. \begin{center}
20. $ x > 0$, \ \ \   oraz\\
21. $\ln x\neq 0 \iff x\neq1$ \\
22. \end{center}
23.  
24. \begin{bfseries} \item \large Parzystość, nieparzystość, okresowość, punkty przecięcia: \end{bfseries}
25. \begin{itemize}
26.  
27. \item Funkcja nie jest \textbf{parzysta}, ponieważ nie istnieje dla $x \leq 0$, więc nie spełnia warunku $f(-x)=f(x)$. \\
28. np. f(x) =$\frac{x}{\ln x}$ nie istnieje dla $x=-2$, \ \ \ \ \ \ f(x) =$\frac{x}{\ln x}$=$\frac{2}{\ln 2}\approx2.88$ dla $x=2$ \\
29.  
30. \item Funkcja nie jest \textbf{nieparzysta}, ponieważ nie jest symetryczna względem punktu  $(0,0)$ \\
31. Funkcja istnieje tylko dla argumentów $x > 0$, więc nie spełnia warunku $f(-x)=-f(x)$ \\
32.  
33. \item Funkcja nie jest \textbf{okresowa} - nie posiada okresu w związku z czym nieprawdziwe jest sformułowanie: \\
34. istnieje taka liczba $t \neq 0$, która dodana do dowolnej dopuszczalnej wartości argumentu nie zmienia wartości funkcji, tzn. $f(x + t) = f(x)$. \\
35. \item Punkty przecięcia:
36. \begin{itemize}
37. \item Oś $OX$: brak miejsc zerowych
38. \item Oś $OY$: brak miejsc zerowych
39. \end{itemize}
40. \end{itemize}
41.  
42. \begin{bfseries} \item \large Granice na krańcach dziedziny: \end{bfseries}
43. \begin{enumerate}[1.]
44. \item $\lim\limits_{x \to 0^{+}}  (\frac{x}{\ln x}) = [ \frac{0}{-\infty} ] = 0$ \\
45. \item $\lim\limits_{x \to 1^{-}}  (\frac{x}{\ln x}) = [ \frac{1^{-}}{0} ] = -\infty$ \\
46. \item $\lim\limits_{x \to 1^{+}}  (\frac{x}{\ln x}) = [ \frac{1^{+}}{0} ] = +\infty$ \\
47. \item $\lim\limits_{x \to +\infty}  (\frac{x}{\ln x}) = (H) \lim\limits_{x \to +\infty} (\frac{1}{\frac{1}{x}}) = [ \frac{\infty}{1} ] = +\infty$ \\
48. \end{enumerate}
49.  
50. \begin{bfseries} \item \large Asymptoty: \end{bfseries}
51.  
52. \begin{itemize}
53. \item \textbf{Asymptoty pionowe:} \\
54. Bierzemy pod uwagę punkt $x=1$, ponieważ nie należy on do dziedziny funkcji:
55. \begin{enumerate}[1.]
56. \item $\lim\limits_{x \to 1^{-}}  (\frac{x}{\ln x}) = \frac{1^{-}}{0} = -\infty$ \\
57. \item $\lim\limits_{x \to 1^{+}}  (\frac{x}{\ln x}) = \frac{1^{+}}{0} = +\infty$ \\
58. \end{enumerate}
59. Funkcja posiada asymptotę pionową o równaniu $x = 1$
60.  
61. \item \textbf{Asymptoty poziome:} \\
62. Liczymy granice $\lim\limits_{x \to -/+\infty}  (\frac{f(x)}{x})$ \\
63. \begin{enumerate}[1.]
64. \item $\lim\limits_{x \to -\infty}  (\frac{x}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}) = \lim\limits_{x \to -\infty} (\frac{1}{\ln x})$ \ \ \ Granica nie istnieje, ponieważ $\lim\limits_{x \to -\infty} (\ln x)$ nie istnieje \\
65. \item $\lim\limits_{x \to +\infty} (\frac{x}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}) = \lim\limits_{x \to +\infty} (\frac{1}{\ln x}) =\lim\limits_{x \to +\infty}(\frac{1}{\ln x})=0 $, ponieważ \ $\left[ \frac{1}{+\infty}\right]$ \\
66. \end{enumerate}
67. Granica w $-\infty$ $\neq 0$ więc funkcja nie posiada asymptot poziomych. \\
68.  
69. \item \textbf{Asymptoty ukośne:} \\
70. Granice $\lim\limits_{x \to -/+\infty}  (\frac{f(x)}{x})$ nie są takie same, więc funkcja $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ nie posiada asymptot ukośnych. \\
71. \end{itemize}
72. \textbf{WNIOSEK:} Jedyną asymptotą funkcji $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ jest asymptota pionowa o równaniu $x = 1$. \\
73.  
74. \begin{bfseries} \item \large Znak funkcji: \end{bfseries}
75. \begin{itemize}
76. \item Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$ \\
77. $f(x) > 0 \iff \frac{x}{\ln x} > 0 \iff x(\ln x) > 0 \iff x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$ \\
78. \item Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla  $x\in(0;1)$ \\
79. $x(\ln x) < 0 \iff x\in(0;1)$
80. \begin{center}
81. \includegraphics[scale=0.4]{znakfunkcji.png}
82. \end{center}
83. \end{itemize}
84. \begin{bfseries} \item \large Pochodna pierwszego rzędu: \end{bfseries}
85. \begin{itemize}
86. \item $ f^{\prime}(x) = f^{\prime}(\frac{x}{\ln x}) = \frac{1 \cdot \ln x- x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^{2}x} = \frac{\ln x - 1}{\ln^{2}x}$ \\
87. \item Dziedzina pierwszej pochodnej to przedział $(0;1) \cup (1;+\infty)$ \\
88. \item Przyrównujemy ją do zera: \\
89. $f^{\prime}(x) = 0 \iff \frac{\ln x - 1}{\ln^{2}x} = 0$ \\
90. $\ln x - 1 = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e$ \\
91. \begin{center}
92. \includegraphics[scale=0.7]{1poch.png}
93. \end{center}
94. \item W otoczeniu punktu $x=e$ funkcja $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ zmienia znak z ujemnego na dodatni, a więc funkcja osiąga minimum lokalne w tym punkcie.
95.  
96. \pagebreak
97.  
98. \item $f^{\prime}(x) > 0$ dla $x\in (0;1) \cup (1;e)$ \\
99. \item $f^{\prime}(x) < 0$ dla $x\in (e;+\infty)$ \\
100.  
101.  
102. \item Wykres pierwszej pochodnej funkcji: $ f^{\prime}(x) = \frac{\ln x - 1}{\ln^{2}x}$ \\
103. \begin{center}
104. \includegraphics[scale=0.75]{pierwszapochodna.png}
105. \end{center}
106. \item $f = \frac{\ln x - 1}{\ln^{2}x}$
107. \item $g = x = 1 \rightarrow$ asymptota
108. \end{itemize}
109.  
110. \pagebreak
111. \begin{bfseries} \item \large Pochodna drugiego rzędu: \end{bfseries}
112. \begin{itemize}
113. \item $f^{\prime\prime}(x) = f^{\prime}(\frac{\ln x - 1}{\ln^{2}x}) = \frac{(\ln x -1)^{\prime} \cdot (\ln^{2}x) - (\ln x -1) \cdot (\ln^{2}x)^{\prime}}{\ln^{2}x}=$
114. $\frac{\frac{1}{x} \cdot \ln^{2}x - (\ln x -1) \cdot \frac{2 \cdot \ln x}{x}}{\ln^{4}x} = \frac{\frac{\ln^{2}x}{x} - \frac{2 \cdot \ln^{2}x + 2 \cdot \ln x}{x}}{\frac{\ln^{4}x}{1}} =$ \\
115. $\frac{\ln^{2}x - 2 \cdot \ln^{2}x + 2 \cdot \ln x}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{4}x} = \frac{-\ln^{2}x + 2 \cdot \ln x}{x \cdot \ln^{4}x} = \frac{\ln x \cdot (-\ln x + 2)}{\ln x \cdot (x \cdot \ln^{3}x)} = \frac{-\ln x + 2}{x \cdot \ln^{3}x}$ \\
116. \item Dziedzina drugiej pochodnej to przedział $(0;1) \cup (1;+\infty)$ \\
117. \item Przyrównujemy ją do zera: \\
118. $\frac{-\ln x + 2}{x \cdot \ln^{3}x} = 0 \iff -\ln x + 2 = 0 \iff \ln x = 2 \iff x = e^{2}$
119. \item Z powyższych obliczeń wynika, że punktem przegięcia jest punkt $x = e^{2}$.
120. \begin{center}
121. \includegraphics[scale=0.72]{2poch.png}
122. \end{center}
123. \item $f^{\prime\prime}(x) > 0$ dla $x \in (1;e^{2})$. Oznacza to, że wykres drugiej pochodnej jest wypukły ku dołowi w tym przedziale.
124. \item $f^{\prime\prime}(x) < 0$ dla $x \in (0;1) \cup (e^{2}; +\infty)$. Oznacza to, że wykres drugiej pochodnej jest wypukły ku górze w tych przedziałach.
125. \item Wykres drugiej pochodnej funkcji: $f^{\prime\prime}(x) = \frac{-\ln x + 2}{x \cdot \ln^{3}x}$
126. \begin{center}
127. \includegraphics[scale=0.72]{drugapochodna.png}
128. \end{center}
129. \item $f = \frac{-\ln x + 2}{x \cdot \ln^{3}x}$
130. \item $g = x = 1 \rightarrow$ asymptota
131. \end{itemize}
132.  
133. \pagebreak
134.  
135. \begin{bfseries} \item \large Tabelka i wykres funkcji: \end{bfseries}\\
136. \begin{itemize}
137. \item Funkcja $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ \\
138. \end{itemize}
139. \def\arraystretch{1.5}
140. \begin{center}
141. \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
142. \hline
143. $x$ & $0$ & $(0;1)$ & $1$ & $(1;e)$ & $e$ & $(e;e^{2})$ & $e^{2}$ & \multicolumn{1}{l|}{$(e^{2};+\infty)$} \\ \hline
144. $f^{\prime\prime}(x)$ & X & X & X & + & + & + & 0 & - \\ \hline
145. $f^{\prime}(x)$ & X & X & X & - & $0_{min}$ & + & + & + \\ \hline
146. $f(x)$ & X & $\lcurvearrowse$ & X & $\rcurvearrowse$ & $e_{min}$ & $\rcurvearrowne$ & $\frac{e^{2}}{2}$ & $\lcurvearrowne$ \\ \hline
147. $granica$ & 0 & \multicolumn{1}{l|}{} & nie istnieje & \multicolumn{1}{l|}{} & \multicolumn{1}{l|}{} & \multicolumn{1}{l|}{} & \multicolumn{1}{l|}{} & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
148. \end{tabular}
149.  
150.  
151. \begin{tabular}{lc}
152. \end{tabular}
153. \end{center}
154. \begin{itemize}
155. \item Wykres funkcji $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ \\
156. \end{itemize}
157. \begin{center}
158. \includegraphics[scale=0.75]{funkcja.png}
159. \end{center}
160. \begin{itemize}
161. \item $f = \frac{x}{\ln x}$
162. \item $g = x = 1 \rightarrow$ asymptota
163. \end{itemize}
164.  
165.  
166. \end{enumerate}
167. \end{document}